Conceptos de punto, línea, plano, paralelismo y perpendicular, con ejemplos
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Punto
Es probable que nos encontremos con la idea de punto en diversos contextos. El término puede referirse a una marca con forma de círculo (“Hay un punto rojo en la pared”), a un signo ortográfico (“No olvides cerrar las oraciones con un punto”), a una unidad que permite llevar la puntuación en un juego (“Manu Ginóbili anotó 34 puntos en un nuevo triunfo del seleccionado argentino”) o incluso a un lugar (“La iglesia es el único punto seguro de la ciudad”).
El punto en geometría es un ente fundamental: esto quiere decir que sólo puede definirse realizando una comparación con otros elementos. De este modo, el punto no se define por sí mismo, sino que adquiere su significado a partir de su relación con otros conceptos.
Gadey, A. (2014). Definición de punto en geometría — Definicion.de. Retrieved 14 September 2019, from https://definicion.de/punto-en-geometria/
Ejemplos de punto
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Exixten infinitos elementos llamados puntos.
Una recta comprende infinitos puntos.
Entre dos puntos de una recta hay infinitos puntos.
Por un punto del plano pasan infinitas rectas.
Dos puntos determinan una recta.
Tres puntos no situados en una recta determinan un plano.
Puntos de Geometría. (2016). Retrieved 14 September 2019, from https://www.ditutor.com/geometria/puntos.html
Linea
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Aunque intuitivamente sabemos que es una línea , actualmente es díficil dar una buena definición matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende infinitamente.
Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo, ) o simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).
Un segmento de línea tiene dos puntos finales. Contiene esos puntos finales y todos los puntos de línea entre ellos. Usted puede medir la longitud de un segmento, pero no la de una línea.Un segmento es nombrado por sus dos puntos finales, por ejemplo, .Una raya es una parte de una línea que tiene un punto final y va infinitamente en una sola dirección. Usted no puede medir la longitud de una raya.
Líneas, segmentos, y rayas. (2017). Retrieved 14 September 2019, from https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/lines-segments-rays
Ejemplos de linea
Línea recta
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Es una sucesión de infinitos puntos (no tiene principio ni fin, es decir, no tiene límites) donde los puntos están alineados en una misma dirección.Si nos acercamos para ver un trozo de la línea recta con una lupa especial, vemos que efectivamente la línea está formada por puntos.
Línea curva
Es una sucesión de infinitos puntos donde los puntos no están alineados necesariamente en una misma dirección.
Vamos a acercarnos otra vez más con la lupa especial para ver un trozo de la línea. De nuevo, podemos ver los puntos que forman la línea curva. En las definiciones hablamos sobre la dirección de la alineación que los puntos de las líneas deben seguir pero, ¿qué quiere decir eso exactamente?
Si nos fijamos en las flechas sobre los puntos azules, (parte de la línea recta), podemos ver que un punto mantiene exactamente la misma dirección que el anterior, sin variar. Las flechas no cambian de dirección.Sin embargo, la dirección de las flechas con los puntos naranjas (parte de la línea curva), no se mantiene constante. Y esta es la diferencia entre las líneas rectas y líneas curvas.
Park, M. (2016). Líneas rectas y líneas curvas - Matemáticas de primaria. Retrieved 14 September 2019, from https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/lineas-rectas-y-lineas-curvas/
Plano
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Un plano es una superficie plana que no tiene dimensión en “volumen” y que se extiende infinitamente en todas las direcciones. Se trata, entonces, de un objeto bi dimensional. En los salones de clase, suele dibujarse como paralelogramo y en general, para diferenciarlo de las notaciones anteriores, se elige nombrarlo con una letra griega, escrita en uno de sus rincones. Si bien se utiliza un paralelogramo (porque de alguna manera hay que dibujarlo) es importante recordar que un plano geométrico es infinito en todas direcciones, no tiene límites y por razones de simplicidad, deberías pensar en un plano como una hoja de papel infinitamente grande.
Díaz, A., & Arias, E. (2015). Punto, recta y plano | Matemáticas modernas. Retrieved 14 September 2019, from https://matematicasmodernas.com/punto-recta-y-plano/
Ejemplos de plano
Fuente Tres puntos no alineados.- Una recta y un punto exterior a ella.
Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
Se llama semiplano, en geometría, cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.
Tipos de planos. (2014). Retrieved 14 September 2019, from https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Plastica/01/plastica-62.html
Paralelismo
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El paralelismo es una relación que se establece entre entes geométricos de dimensión mayor o igual a uno, esto es, las rectas y los planos (de hecho, también pueden ser paralelos otro tipo de objetos cuyo estudio no se aborda aquí).
Los objetos paralelos (recta a recta, recta a plano o plano a plano) son equidistantes, y nunca se tocan por más que los prolonguemos.
Como se verá en el enunciado de los axiomas fundamentales, dos objetos paralelos de cualquier tipo no comparten ningún punto.
Paralelismo |. (2016). Retrieved 14 September 2019, from http://dibujoindustrial.es/geomplana/geometriabasica/paralelismo/
Ejemplos de paralelismo
Paralela a una recta a una distancia dada
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Basta con trazar una perpendicular a la recta (ver figuras anteriores) y sobre ella llevar la distancia deseada a un punto. Luego, aplicar la construcción de la paralela a una recta por un punto exterior.
Trazado de paralelas con la escuadra y el cartabón
La escuadra tiene dos ángulos de 45º y el cartabón uno de 30º y otro de 60º. Girándolos y deslizándolos uno sobre otro adecuadamente podemos trazar perpendiculares y paralelas, así como rectas que formen ángulos múltiplos y divisiones de estos ángulos (ver capítulo de ángulos).
Paralelismo |. (2016). Retrieved 14 September 2019, from http://dibujoindustrial.es/geomplana/geometriabasica/paralelismo/
Perpendicular
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Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro Ángulos iguales de 90º.
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
Dado un Punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha Recta.
Dos rectas son perpendiculares si sus Vectores directores son perpendiculares es decir el producto de los vectores es igual a cero
Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan y además, toda recta en el plano que pase por el punto de intersección es perpendicular a la recta dada.
Rectas perpendiculares - EcuRed. (2017). Retrieved 14 September 2019, from https://www.ecured.cu/Rectas_perpendiculares
Ejemplo de perpendicularidad
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Recta perpendicular a un plano: Una recta perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en dicho plano, pasen o no por la intersección recta-plano o pié de la perpendicular.
Teorema de las tres perpendiculares: Si dos rectas son perpendiculares entre sí y una de ellas es paralela a un plano, sus proyecciones ortogonales sobre dicho plano, son también ortogonales.
Perpendicularidad entre planos: Para que dos planos sean perpendiculares entre sí, es preciso que uno de ellos contenga una recta perpendicular al otro. Perpendicularidad. (2016). Retrieved 14 September 2019, from https://dibujotecni.com/geometria-plana/perpendicularidad/
Vasquez, A. (2013). Rectas paralelas y perpendiculares, Teoría y ejemplos. Retrieved 14 September 2019, from https://youtu.be/QY0mJGQjE5E
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